Aufgabe
Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben: Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit 0,6 angenommen, in den späteren Lebensjahren mit 0,8. Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit 0,5 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in drei Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen- $x_1$ : Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
- $x_2$ : Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
- $x_3$ : Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)
- Die aktuelle Zählung ergibt $x_1= 2000$, $x_2=4000$ und $x_3 = 15000$.
- Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren.
- Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe.
- Fünf Elemente der Matrix L haben den Wert Null. Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert Null hat.
- Untersuchen Sie, ob es eine von $\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$ verschiedene stationäre Verteilung gibt, d.h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
- Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix $L$ beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz p verkleinern. Nach 20 Jahren wird sie noch aus insgesamt $17870$ Vögeln, nach weiteren 10 Jahren aus $15422$ Vögeln bestehen. Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz p.
- Langfristig gilt $p \approx 1,462\%$. Ermitteln Sie näherungsweise, in wie viel Jahren sich unter dieser Voraussetzung die Population jeweils halbiert. \\ Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von $\frac{5}{9}$ Jungvögel pro Elternvogel und Jahr erhöht.
- Zeigen Sie, dass die Verteilung $n \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix}$ für jede positive ganze Zahl $n$ eine stationäre Verteilung ist.
- Berechnen Sie für eine konkrete stationäre Verteilung aus (4) die prozentualen Anteile jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigen Sie, dass sich für jede stationäre Verteilung aus (4) unabhängig von n dieselben Anteile ergeben.
- Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den nebenstehenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.
- Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix M an.
- Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft.
Lösung der Aufgabe
Teilaufgabe a\begin{align*} \vec{x_1} = L \vec{x_0} = \left( \begin{matrix} 0& 0& 0.5\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 2000\\ 4000\\ 15000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7500\\ 1200\\ 14400 \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} \vec{x_2} = L^2\vec{x_0} = \begin{pmatrix} 7500\\ 4500\\ 12240 \end{pmatrix} \end{align*} Zu 1b
Ansatz: \begin{align*} L\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2000\\ 4000\\ 15000 \end{pmatrix} \end{align*} Wir können jetzt die Matrixmultiplikation auf der linken Seite ausführen. Dies führt dann auf das folgende Gleichungssystem: \begin{align*} &0.5 x_3 = 2000\\ &0.6 x_1 = 4000\\ &0.6 x_2 + 0.8 x_3 = 15000 \end{align*} die ersten beiden Gleichungen können wir direkt lösen, da ja nur eine unbekannte Größe pro Gleichung vorkommt. In Gleichung drei müssen wir dann $x_3$ aus Gleichung 1 einsetzten und können dann nach $x_2$ lösen. \begin{align*} &x_3 = 4000\\ &x_1 = \frac{20 000}{3} = 6666 \frac{2}{3} \end{align*} Nach einsetzen folgt \begin{align*} &\frac{6}{10}x_2 + \frac{8}{10}4000 = 15000\\ \Leftrightarrow & x_2 = \frac{59000}{3} = 19660 \frac{2}{3} \end{align*} Damit ist die Verteilung im Vorjahr bekannt als \begin{align*} \vec{x}_\text{Vorjahr} = \begin{pmatrix} 6666\frac{2}{3}\\ 19666\frac{2}{3}\\ 4000 \end{pmatrix} \end{align*} Wir wollen auf einzelne Einträge der Matrix genauer eingehen. $L_11$ ist Null, weil Jungvögel nach einem Jahr in die nächste Altersgruppe wechseln, aber selbst keinen Nachwuchs bekommen. $L_23$ ist Null, weil Vögel der Altersgruppe 3 nicht in Altersgruppe 2 zurückwechseln können. Sie werden nicht jünger. Bei solchen Aufgaben muss man sich das Modell klarmachen, dann sind das eigentlich geschenkte Punkte.
Teilaufgabe b
Der Fixvektor $\vec{s}$ soll sich über ein Jahr nicht ändern. Dies führt zu dem Ansatz: \begin{align*} L \vec{s} = \vec{s} \end{align*} \begin{align*} \left( \begin{matrix} 0& 0& 0.5\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3 \end{pmatrix} \end{align*} Links führt man die Matrixmultiplikation aus \begin{align*} \begin{pmatrix} 0.5s_3\\ 0.6s_1\\ 0.6s_2 + 0.8s_3 \end{pmatrix} \end{align*} Und kommt so auf das Gleichungssystem \begin{align*} &-s_1 + 0.5 s_3 = 0\\ &0.6s_1 - s_2 = 0\\ &0.6s_2 -0.2s_3 = 0 \end{align*} Wir schreiben die erweiterte Koeffizientenmatrix auf \begin{align*} \left( \begin{matrix} -1& 0& 0.5& 0\\ 0.6& -1& 0& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} Und nutzen den Gauß-Algorithmus um die Lösung des Gleichungssystems zu finden \begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ -0.6& 1& 0& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} \begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0.6& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} \begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0& -0.2& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} \begin{align*} \left( \begin{matrix} 1& 0& -0.5& 0\\ 0& 1& -0.3& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{matrix} \right) \end{align*} Wir haben also eine einfaches äquivalentes Gleichungssystem gefunden: \begin{align*} &s_1 -0.5s_3 = 0\\ &s_2 - 0.3s_3 = 0\\ &s_3 = 0 \end{align*} Lösung \begin{align*} \vec{s}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{align*} Es gibt also nur einen Fixvektor, insbesondere gibt es keinen von Null verschiedenen Fixvektor.
Teilaufgabe b2
Wir gehen nun davon aus, das sich die Population im gesamten jedes Jahr um einen Prozentsatz abnimmt. Wir kennen noch aus der Zinsrechnung die Zinseszinsformel, wir ändern ein Vorzeichen und erhalten den Ansaz: \begin{align*} K_n = K_0 \left(1-\frac{p}{100}\right)^n \end{align*} Wir lösen nach $\frac{p}{100}$ auf, denn alle anderen Größen kennen wir ja. \begin{align*} &\frac{K_n}{K_0} = \left( 1-\frac{p}{100}\right)^n\\ \Leftrightarrow &\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} = 1-\frac{p}{100}\\ \Leftrightarrow &1-\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} = \frac{p}{100} \end{align*} Hier ergibt sich \begin{align*} \frac{p}{100} = 1- \sqrt[10]{\frac{15422}{17870}} = 0.01462 \end{align*} Folgt $p\approx 1.462$
Teilaufgabe b3 Wir wissen $p=1.462$ Wann halbiert sich die Population? Wegen dem vorhin gewählten Ansatz muss ja der Faktor, der die Abnahme von der Ausgangspopulation beschreibt, gleich $\frac{1}{2}$ sein. Führt zum Ansatz: \begin{align*} \left(1-\frac{p}{100}\right)^n = \frac{1}{2} \end{align*} Wir wenden den Logarithmustrick zum Auflösen nach Exponenten an \begin{align*} n \ln \left( 1-\frac{p}{100}\right) = \ln \frac{1}{2} \end{align*} Auflösen und Logarithmusgesetze anwenden \begin{align*} n=\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =\frac{\ln 1 - \ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =\frac{0 - \ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} =-\frac{\ln 2}{\ln\left(1-\frac{p}{100}\right)} \end{align*} Teilaufgabe b4 Aus der Aufgabenstellung:
Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von $\frac{5}{9}$ Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr erhöht.
Wir überlegen uns wie die Matrix angepasst werden muss. Die Brut findet nach Aufgabenstellung im dritten Stadium statt. Es ist also in der Abbildung der Eintrag von $x_3$ nach $x_1$ der angepasst werden muss. Also $L_{13}$ wird von $0.5$ auf $\frac{5}{9}$ geändert. \begin{align*} \hat{L}=\left(\begin{matrix} 0& 0& \frac{5}{9}\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix}\right) \end{align*} \textbf{Zu zeigen} ist, dass \begin{align*} n \begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix} \end{align*} ein Fixvektor der angepassten Matrix ist. Wir könnten jetzt wie oben wieder ein Gleichungssystem aufstellen und lösen. Stattdessen können wir aber den schnelleren Weg gehen, indem wir den Vektor durch die Abbildung schicken, und schauen, was rauskommt. \begin{align*} \left(\begin{matrix} 0& 0& \frac{5}{9}\\ 0.6& 0& 0\\ 0& 0.6& 0.8 \end{matrix}\right) \begin{pmatrix} 5n\\ 3n\\ 9n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5n\\ 3n\\ 9n \end{pmatrix} \end{align*} passt also.
Teilaufgabe b5
Wählen wir in (4) z.B. $n=1$, so ergibt sich als stationäre Verteilung $\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 9 \end{pmatrix}$ Die Gesamtzahl der Vögel ist dann $5+3+9=17$. Damit können die Anteile der Altersgruppen an der Gesamtpopulation berechnet werden. \begin{align*} &p_1 = \frac{5}{17} \approx 29.4 \%\\ &p_2 = \frac{3}{17} \approx 17.6 \%\\ &p_3 = \frac{9}{17} \approx 52.9 \% \end{align*} Man kann für jeden Anteil zeigen, dass diese Anteile von $n$ unabhängig sind, z.B. \begin{align*} &p_1 = \frac{5n}{5n+3n+9n} = \frac{5}{17} \end{align*} Hängt nicht mehr von $n$ ab, weil sich $n$ kürzen lässt. Passt also.
Teilaufgabe c Die Matrix können wir direkt aus dem Übergangsgraphen ablesen. \begin{align*} \left( \begin{matrix} 0& 0.8\\ 0.5& 0.6 \end{matrix} \right) \end{align*} Bei dieser Vogelart werden nur zwei Altersgruppen unterschieden. Die erste Brut findet schon im 2. Lebensjahr statt. Die Überlebensrate beträgt im 1. Lebensjahr 0,5 und in den folgenden Lebensjahren jeweils 0,6. Auf einen Elternvogel kommen pro Jahr 0,8 Jungvögel.
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