Beim hydraulischen Fracking werden in tiefen Gesteinsschichten durch Hochdruckbohrungen Risse erzeugt, durch die das im Gestein enthaltene Gas gewonnen werden kann. Die momentane Förderrate einer solchen Lagerstätte wird durch die Funktion
\begin{equation}
f(t)=(200-5t)\cdot e^{0.2t} \qquad 0\le t \le 40
\end{equation}
erfasst. Dabei ist $t$ die Zeit seit Förderbeginn in Monaten und $f(t)$ die Förderrate zur Zeit $t$ in der Einheit $1000 \; \frac{m^3}{\text{Monat}}$.
- Bestimmen Sie die Förderrate zu Beginn, nach 12 und nach 24 Monaten.
- Bestimmen Sie die Ableitung der Förderrate
- Bestimmen Sie das Zeitpunkt und Höhe der maximalen Förderrate
- In welchem Zeitraum liegt die Förderrate bei mindestens $20 \; \text{Mio.} \; \frac{m^3}{\text{Monat}} $
Aufgabenstellung verstehen: In (a) ist nach Werten der Funktion gefragt. Hier müssen einfach die Stellen 0, 12, 24 in die Funktion eingesetzt werden und der Funktionswert soll bestimmt werden. In (b) muss die Ableitung bestimmt werden, dazu wird man die Produkt- und Kettenregel verwenden. In (c) soll das lokale Maximum bestimmt werden, dazu bestimmt man zunächst über den Ansatz $f'(x)=0$ einen/die Kandidaten für ein Maximum und prüft dann mit dem hinreichenden Kriterium, ob auch wirklich ein Maximum vorhanden ist. Dann berechnet man noch den Funktionswert an der Stelle des Maximums und ist fertig. In (d) ist nach einem Intervall gefragt. Dies kann man sich entweder an der Zeichnung klar machen oder Rechnerisch über den Ansatz $f(t)=20 000$ berechnen.
Lösung
Teilaufgabe a
\begin{align*}
f(0)&=200\\
f(12)&=1543.24\\
f(24)&=9720.83
\end{align*}
Teilaufgabe b
\begin{align*}
f(t)&=(200-5t)\cdot e^{0.2t}\\
f'(t)&= -5 \cdot e^{0.2 t} + (200-5t) \cdot 0.2 \cdot e^{0.2t}\\
&= e^{0.2t} \cdot (40-t-5)\\
&= e^{0.2t} \cdot (35-t)
\end{align*}
Teilaufgabe c
Wir untersuchen auf lokale Extrema
\begin{align*}
f'(x)=0 \Rightarrow 35-t = 0 \Leftrightarrow t=35
\end{align*}
Hinreichend:
\begin{align*}
f''(t) &= -1 e^{0.2t} + (35-t) 0.2 e^{0.2}\\
&=-e^{0.2t}+(7-0.2t)e^{0.2t} \\
&= (7-1-0.2t)e^{0.2t} \\
&= (6-0.2t)e^{0.2t}
\end{align*}
Den Kandidaten für das Extremum einsetzten.
\begin{align*}
f''(x)=(6-0.2\cdot 35)e^{0.2\cdot 35} = (6-7)e^7 = -e^7 <0
\end{align*}
Es handelt sich also um einen Hochpunkt.
Teilaufgabe d
Die Gleichung
\begin{equation}
(200-5t)e^{0.2t}-20 000 = 0
\end{equation}
kann nicht analytisch gelöst werden. (Man kann also durch Umformen nicht nach $t$ auflösen). Der Taschenrechner kann durch nummerische Verfahren aber zwei Lösungen finden. Diese sind
\begin{align*}
t_1 &= 29.915\\
t_2 &= 37.997
\end{align*}
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